まずは，不倫をされていた相手方の女性がいくら程度の慰謝料を請求されたのかを確認されるべきかと思います。
あなたが調べられた通り，いわゆる不倫は共同不法行為にあたりますから，不貞相手の女性が既にいくらかを元夫に対し支払った（この場合財産分与の放棄であっても，慰謝料については請求された分の額を支払ったという評価になるかと思います。）というのであれば，元夫側があなたに対して請求できる金額は，その分，少なくなってしかるべきということになりますので。

その上で，お近くの弁護士等に相談に行かれた上で，適正な金額を調整されるべきかと存じます。

なお，不貞行為が判明した結果，離婚している場合，婚姻期間の長さや，それに対する不貞期間の長さや程度など種々の事情に応じて変わってきますので，一概には言えませんが，よほど特殊な例でない限り，おおむね１５０万円から２５０万円程度にとどまることが多いとは思います。

また，不倫された女性に対する請求ですが，相談者様がその女性が既婚者であることを知らないでまたは未婚である旨を告げられた上でこれを信じて関係を持ったという場合などであれば格別，不貞関係にあった事実があるのであれば，基本的には勝手にばらされたという点だけをとらえて法的に何等かの請求を求めることは難しいかと存じます。

極力，早めに対処されるべきかと存じますが，慰謝料金額については交渉の余地がある事案かと見受けられますので，上記の回答を参考の上，対応されてみてはいかがでしょうか。

まず，婚姻と養子縁組は別の手続きであり，婚姻されたとしても，別途養子縁組をしなければ子供たちの養親となることは出来ません。

次に，国際結婚に特有の問題として，婚姻の成立について，夫婦のいずれの国の法律が適用されるかという問題があり，今回のご相談に関していえば，再婚が成立するかどうかについてはあなたと彼のそれぞれの国の法律，つまり日本法だけでなく，オーストラリア法においても婚姻が成立するかどうかを判断する必要があります。
なお，オーストラリア法の部分に関しては，残念ながら，日本の弁護士には責任をもって助言することが出来かねるものですので，彼においてオーストラリア法で婚姻の成立等に必要な特別な条件がないか確認していただく必要があるかと思います。

次に，養子縁組に関してですが，
養子縁組については，彼のお子さんを養子にする場合には日本法に従った方法を取る必要があり，彼があなたのお子さんを養子にする場合にはオーストラリア法に従った方法を取る必要があります。
加えて，お子さんがいずれも未成年ですので，彼があなたのお子さんを養子にする場合には，日本法上，日本の家庭裁判所による許可が必要となります。
同様にあなたが彼のお子さんを養子にする場合，仮にオーストラリア法において養子縁組の際，裁判所による許可や，実親による承諾等が必要であるとすれば，この許可等も取らなければなりません。
なお，裁判所による許可については，オーストラリアまで行って取らなければいけないというものではなく，日本の裁判所における許可をもってこれに代えることができる場合がありますし，今回お子さんたちはいずれも未成年者であることから，いずれのお子さんについても日本の家庭裁判所による許可が必要となることもあり，まずは家裁に確認されるとよいかと思います。

> また、もし内縁の状態を続けていたとして、私または彼ば亡くなった場合、子供たちの親権や養育権はどのようになりますか？

どちらか一方が亡くなった場合にも単独で養親となることは可能ですが，それには別途手続きが必要であり，内縁であったことの直接の効果として認められるものではありません。


学校の問題等もあり，お困りのことと思いますが，まずは婚姻についてはお近くの役所，養子縁組については家庭裁判所においてご相談されるのがよろしいかと思います。